中1数学

教えたいのは式変形じゃない。数学の「かっこよさ」だ。

2015.01.23 UP

数学専門塾としてスタートしたSEG。数学の授業のレベルの高さは全国トップクラスだ。授業の合間に、中学2年生がピタゴラスの定理を使った証明を「遊び」でやっている姿を見かけたときは、自分との差に感嘆したのだった。

私(矢部)は、Websiteの運営会社を経営している。ふとした縁でSEGの古川代表と知り合い、今回、SEGの授業の取材と執筆を依頼された。しかし、私事で申し訳ないが、私は算数がきらいだった。小学3年生の時、いつも宿題をやらずに授業が始まり、答え合わせの間、机の上に正座させられていた。保護者会でその事実を知った父は、恥ずかしくて顔を上げることができなかったそうだ。本当に申し訳ない。数学の世界が少しも分からないまま高校生になり、2次関数のテストで5点をとった時、母が真っ青になって家庭教師を探してきたことを覚えている。そんな私に、「数学が嫌いだった人の視点で正直な感想を書いてくれ」との依頼であった。

引き受けたものの、数学オンチの私は、中学1年生のクラスとはいえ、理解する自信がなかった。

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復習テストでみんなが間違えやすかったところを確認。何度も確認をすることで深い理解を促す。

間違いを消して、なかったことにしたら、また同じことを繰り返すぞ

緊張した面持ちで教室に入ると、数学の授業前とは思えないくらいの、明るい声が飛び交っている。男子生徒7名、女子生徒5名のこじんまりとしたクラスだ。

担当の佐藤太郎先生は、出席をとり終わったら宿題を回収し、復習テストを始めた。1次方程式、連立方程式の問題が並ぶ。先生が生徒の机を回り、正解には◯を、不正解にはどこが間違っているかをチェック。間違いに気づいてあわてて消しゴムを使う生徒に対して、

「間違ったところを消しゴムで消さない。どこを間違ったのかが分かるように」と指導。
「間違いを消して、なかったことにしたら、また同じことを繰り返すぞ」

こうやって数学の学習方法を一つひとつ身につけていくのだろう。

テストの解答を見ながら、みんなが間違っているポイントを整理。先週の授業のポイントを確認する。

「思い出した!」とぱっと明るい顔で喜ぶ生徒たち。

このクラスの生徒たちは、とにかく元気が良い。授業中でも分からないことは「分かんない!」と叫んだり、「先生、字がきたないよ」とツッコミをいれることもしばしば。

時には集中力を欠いて叱られたり、ふざけすぎてなだめられることもあるが、基本的には真摯に授業に取り組んでいる。数学の授業というと、黙々とペンを走らせるイメージがあったが、このSEGのクラスは一味違うようだ。

答にたどりつく方法は何通りもある

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復習を終え、ここからが本題。今日のテーマは「不変量」。

先生がみんなに問題を出す。ホワイトボードに目を向けて集中する生徒たち。

m角形の内角の和は180° × (m – 2) で求められる。
どう証明しますか?

瞬時に一人の生徒が、「三角形に分けて内角の和を足す!」と解答。あっさり証明できた……!

[方針1]
m角形を(m – 2)個の三角形に分けて、一つひとつの三角形の内角の和180°を(m – 2)個分足す。

「他には?」と、さらに答えを促す先生。
生徒の手が挙がり、これもあっさり「方針2」が決まる。

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「他に方針は?」と聞かれ、楽しそうに手をあげる生徒。

[方針2]
各頂点ごとに、内角と外角の和が180°。すべての頂点で足すと180° × m。ここで、
外角の和が360° = 180° × 2なので、これを引いて内角の和は180° × m – 180° × 2。
つまり、180° × (m – 2) になる。

「他には~?」と楽しそうに笑う先生。考えこむ生徒たち。
「こうしたらどうかな?」
「それだとダメだよ」
と生徒同士で、意見を言いながら方針を探していく。

先生がヒントを出す。

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「真ん中に点をいれて……」とアイデアを話す生徒。にわかに盛り上がる教室。

「外角を使わずに、方針2の
 180° × m – 360°
 と同じ式って説明できない?」

一人の生徒が「あっ」と小さくつぶやき、「真ん中に点をとったら……」とアイデアを出す。他の生徒も気がついたようで、
「そういうことか!」
「すごい、いい発想!」
「天才!」
と声があがる。

[方針3]
内部に点Pをとり、△PAnAn + 1m個の三角形に分け、Pのまわりの360°を引く。(A1,A2,……はm角形の頂点)

「この3つの考え方、どれも大事な考え方で、このあとの授業で役に立ちますからね」
と先生が念を押す。

突然ゲームが始まった。なんだか楽しそう

ここで「陣取りゲームをやってみましょう」と先生が言って、がらりと雰囲気が変わる。数学の授業で、ゲーム??
ルールは以下のとおり。

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ルールを説明しながら、まずはデモンストレーション。

【陣取りゲームのルール】

  1. (1)図のように平面上に8つの点がある。
  2. (2)2人で交互に、1本ずつ点と点を線分で結んでいく。ただし、すでに引いた線分と交差してはいけない。
  3. (3)内部に(頂点以外の)点を含まない三角形ができあがったら、自分の陣地として確保できる。
  4. (4)線分がもう引けなくなったら、ゲームは終了。
  5. (5)終了時に、とった三角形の多い人が勝ち。

ルールが理解できたら、ペアになってテキストにある図を使って陣取りゲームのスタート。

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テキストには点の配置の違うゲームが(1)〜(5)まで用意されている。

「うーん、どこに引こう……」
「勝った!」
「負けた~!」
「後攻が有利じゃない?」
と、楽しそうな声が教室中に響きわたる。
みんな真剣に考え、ゲームに熱中している。

テキストには、点の配置が違う5つのゲームが載っている。点はどれも8つだ。
5つすべて終わったら、先攻後攻を入れ替えてもう1回戦。



みんなの勝負が決まったところで、先生がどちらが何個の陣地をとったかの勝敗を書き出した。

「勝ったり負けたりはいろいろだし、どんな三角形ができたかもいろいろだけど、この勝敗表には、なにか『不変量』がないかな?」

先生が問うと、生徒たちが

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「全部で9個になる!」
と答える。

たしかに、三角形の描き方はそれぞれなのに、ゲーム(1)と(2)の8つの点では、陣地となる三角形の合計が9個になる。
なぜだろう?

他の配置の(3)~(5)の三角形ではどうだろうか?
みんなのゲームの結果を確認すると、(3)のゲームでは三角形は8個、(4)は10個、(5)では11個となることが分かった。

配置が変わると三角形の総数は変わるけれど、配置が同じなら三角形の総数は一定だ。
そこで新たな疑問が発生してくる。
これらの8つの点の配置のうち、何が三角形の総数を決めているんだろう?

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「さあどうする?」と疑問を投げかける先生。考えこむ生徒を見て、ちょっと嬉しそう。

全員で、もう一度テキストをながめる。
「あ、これ、多角形だ!」
一人の生徒が思いつく。

  1. (1)(2)は、五角形の頂点と内部の点が3点
  2. (3)は六角形の頂点と内部の点が2点
  3. (4)は四角形の頂点と内部の点が4点
  4. (5)は三角形の頂点と内部の点が5点

ここまで分かったことをまとめると、
「できる三角形の総数は、外側が何角形か、内部の点がいくつあるかで決まる」
ということ。

法則があることは分かった。どうしてそうなるかの証明は?

さて、これが最後の問題。

外側がm角形で、内部にある点がn点のとき、できる三角形の総数をmnの式で表し、どうしてそうなるかを証明せよ。

首をかしげる生徒たち。
先生が助け舟をだす。

「まずは仮説を立ててみよう。仮に、m = 8, n = 0だったらどうだろう? やってみると、6個の三角形ができる。6個。つまり、m – 2だよね」

「八角形で、内部の点が0だったら、おそらく答は6個。この6個が変わらない量、つまり『不変量』であることを証明したい。さあどうする?」

再び静まり返る教室。さすがの生徒たちも眉をしかめている。ため息とともに「分かんない……」の声。

悩んでいる生徒を見てニコニコしながら、先生がヒントを出す。
「答とは別の、すでに知られている不変量を使うと、うまく説明できるよ」
懸命に考える生徒たち。私も一緒になって考える。答はもちろん出てこない。

「どんな風に分けようが、変わらない何かがあるんだよ。多角形で形によらない不変量って何があった?」

生徒たちが思い思いに答える。
「辺の数」「頂点の数」「対角線の数」「内角の和……」 「あ、内角の和!?」
先生がさらに進める。

「どんな風に頂点を結んでも、そこでできるそれぞれの三角形の内角は、ぜんぶ八角形の内角に集まってるよね。ということは、できた三角形が何個でも、そのすべての内角の和は、八角形の内角の和と一致するはずですね」

「あーーー!」
「分かったー!」
一斉に教室が歓喜に湧く。

先生は得意げに「ちょっと数学っぽくてかっこいい証明だと思いませんか?」と笑う。
たしかに、なんだかかっこいい……!

できる三角形をx個とおく
できた三角形の内角は、外側の八角形の内角を分けたものなので……
できた三角形x個すべての内角の和 = 外側の八角形の内角の和
     180° × x = 180° × (8 – 2)
        x = 6

さらに、証明は続く。
「これをふまえて、内部の点が増えたときのことを考えてみよう。
 たとえば、m = 8, n = 1の場合はどうだろうか?
 先ほど、八角形の中にできる三角形の内角は、八角形の内角に集まることが証明できた。内部に1点が加わると、すべての三角形の内角の和はどうなるだろう?」

生徒が答える。「360°増える!」
「そう、八角形の内角の和と点のまわりの360°ですね」
(できた三角形x個すべての内角の和)=(外側の八角形の内角の和)+(内部の点Pのまわりの360°)×(内部の点の数)
式で表すと、
180° × x = 180° × (8 – 2) + 360° × 1
x = (8 – 2) + 2 = 8

まとめると……
外側がm角形、内部にある点がn点のとき、できる三角形をx個とおく。
(できる三角形のすべての内角の和)=(外側のm角形の内角の和)+(内部の点 それぞれのまわりの360°) × (内部の点の数n
より、
180° × x = 180° × (m – 2) + 360° × n
x = m – 2 + 2n

「多角形の中の陣取りゲームでできる三角形の個数には、こんな数学が隠れているんだよ」という先生の言葉に、教室中から歓声があがった。
答が理解できた生徒たちは、実に楽しげだ。見学者である私も充分に楽しかった。

「数学のかっこよさ」をみつけるためのストーリー

夢中になってゲームをすること、その中から疑問を見つけること、その疑問を解こうと懸命に考えること、そして答が分かったときの達成感。このストーリーには、勉強という枠を超え、人を成長させるあらゆる要素が含まれている……と考えるのは大げさだろうか。
私たちを行動させる動機は、とても単純だ。おもしろいか、おもしろくないか。かっこいいか、かっこよくないか。そういった感情の差異が、すぐさま行動にはねかえる。
自らやるか、命令されてやるか。あるいは、やらないか(かつての私のように……)。
その結果は明白だ。
この授業で見つけた「数学のかっこよさ」という切れ端は、彼らの中で、もっともっと大きく広がっていくだろう。

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Text by:
矢部理子 株式会社オキーフ 代表取締役

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